In this note, we introduce a family of "power sum" kernels and the corresponding Gaussian processes on symmetric groups $\mathrm{S}_n$. Such processes are bi-invariant: the action of $\mathrm{S}_n$ on itself from both sides does not change their finite-dimensional distributions. We show that the values of power sum kernels can be efficiently calculated, and we also propose a method enabling approximate sampling of the corresponding Gaussian processes with polynomial computational complexity. By doing this we provide the tools that are required to use the introduced family of kernels and the respective processes for statistical modeling and machine learning.

We propose a principled way to define Gaussian process priors on various sets of unweighted graphs: directed or undirected, with or without loops. We endow each of these sets with a geometric structure, inducing the notions of closeness and symmetries, by turning them into a vertex set of an appropriate metagraph. Building on this, we describe the class of priors that respect this structure and are analogous to the Euclidean isotropic processes, like squared exponential or Mat\'ern. We propose an efficient computational technique for the ostensibly intractable problem of evaluating these priors' kernels, making such Gaussian processes usable within the usual toolboxes and downstream applications. We go further to consider sets of equivalence classes of unweighted graphs and define the appropriate versions of priors thereon. We prove a hardness result, showing that in this case, exact kernel computation cannot be performed efficiently. However, we propose a simple Monte Carlo approximation for handling moderately sized cases. Inspired by applications in chemistry, we illustrate the proposed techniques on a real molecular property prediction task in the small data regime.

高斯过程可以说是空间统计中最重要的模型类别。他们编码有关建模功能的先前信息，可用于精确或近似贝叶斯推断。在许多应用中，尤其是在物理科学和工程中，以及在诸如地统计和神经科学等领域，对对称性的不变性是人们可以考虑的先前信息的最基本形式之一。高斯工艺与这种对称性的协方差的不变性导致了对此类空间平稳性概念的最自然概括。在这项工作中，我们开发了建设性和实用的技术，用于在在对称的背景下产生的一大批非欧基人空间上构建固定的高斯工艺。我们的技术使（i）以实用的方式计算（i）计算在此类空间上定义的先验和后高斯过程中的协方差内核和（ii）。这项工作分为两部分，每个部分涉及不同的技术考虑：第一部分研究紧凑的空间，而第二部分研究的非紧密空间具有某些结构。我们的贡献使我们研究的非欧亚人高斯流程模型与标准高斯流程软件包中可用的良好计算技术兼容，从而使从业者可以访问它们。

贝叶斯优化是一种数据高效技术，可用于机器人中的控制参数调整，参数策略适应和结构设计。这些问题中的许多问题需要优化在非欧几里德域上定义的函数，如球体，旋转组或正向矩阵的空间。为此，必须在感兴趣的空间内之前或等效地定义内核的高斯进程。有效内核通常反映它们定义的空间的几何形状，但设计它们通常是非微不足道的。基于随机部分微分方程和Laplace-Beltrami运营商的频谱理论，最近在Riemannian Mat'En内核的工作，提供了朝向构建此类几何感知内核的承诺途径。在本文中，我们研究了在机器人中的兴趣流动上实施这些内核的技术，展示了它们在一组人工基准函数上的性能，并说明了各种机器人应用的几何感知贝叶斯优化，覆盖方向控制，可操纵性优化，和运动规划，同时显示其提高性能。

高斯工艺是能够以代表不确定性的方式学习未知功能的机器学习模型，从而促进了最佳决策系统的构建。由于渴望部署新颖的科学领域的高斯过程，一种迅速增长的研究线路集中于建设性地扩展这些模型来处理非欧几里德域，包括黎曼歧管，例如球形和托尔。我们提出了概括这一类的技术，以模拟黎曼歧管上的矢量字段，这在物理科学中的许多应用领域都很重要。为此，我们介绍了构建规范独立核的一般配方，它诱导高斯矢量字段，即矢量值高斯工艺与几何形状相干，从标量值riemannian内核。我们扩展了标准高斯过程培训方法，例如变分推理，以此设置。这使得旨在使用标准方法培训的Riemannian歧管上的矢量值高斯流程，并使它们可以访问机器学习从业者。

单模光纤（SMF）已成为现代通信系统的骨干。但是，他们的吞吐量有望在不久的将来达到其理论限制。多模纤维（MMF）的利用被认为是纠正此容量紧缩的最有前途的解决方案之一。然而，描述MMF中的光传播的微分方程比SMF的差异更复杂，这使得基于MMF的系统的数值建模在计算上是对现实场景的大部分要求是必需的且不切实际的。已知物理知识的神经网络（PINN）在各个领域都超过常规数值方法，并已成功应用于非线性Schr \“ Odinger方程（NLSE），描述了SMF中的光传播。 nlse（mmnlse）仍然缺乏。据我们所知，本文是第一个为mmnlse部署Pinn范式的文章，并证明通过类比与NLSE的Pinns实现了直接的实现。我们无法确定所有内容。我们确定所有内容。阻碍Pinn收敛的问题，并引入了零级分散系数的新颖缩放转换，使Pinn捕获了所有相关的物理效果。我们的模拟揭示了与拆分型傅立叶（SSF）方法的良好一致性，并扩展了可实现的可实现的传播长度一百米。所有主要限制也被突出显示。

从示范中学习（LFD）方法使最终用户能够通过演示所需的行为来教机器人新任务，从而使对机器人技术的访问民主化。但是，当前的LFD框架无法快速适应异质的人类示范，也无法在无处不在的机器人技术应用中进行大规模部署。在本文中，我们提出了一个新型的LFD框架，快速的终身自适应逆增强学习（FLAIR）。我们的方法（1）利用策略来构建政策混合物，以快速适应新的示范，从而快速最终用户个性化； （2）提炼跨示范的常识，实现准确的任务推断； （3）仅在终身部署中需要扩展其模型，并保持一套简洁的原型策略，这些策略可以通过政策混合物近似所有行为。我们从经验上验证了能力可以实现适应能力（即机器人适应异质性，特定用户特定的任务偏好），效率（即机器人实现样本适应性）和可伸缩性（即，模型都会与示范范围增长，同时保持高性能）。 Flair超过了三个连续控制任务的基准测试，其政策收益的平均提高了57％，使用策略混合物进行示范建模所需的次数少78％。最后，我们在现实机器人乒乓球任务中展示了Flair的成功。